geogebra cas기능 활용해서 방정식의 해 구하기(2023학년도 수능 수학 6번 문제)

도입

geogebra 보통 어떻게 활용하시나요?

저는 주어진 그래프의 기하적 특징을 확인하는 용도로 주로 활용하는데요, 문득 실질적인 문제 풀이에 적용 가능한지 여부가 궁금하더라고요. 그래서 방법을 알아보다가 오늘 알게 된 내용을 기록하려 합니다.

 

 

예시 문제

오늘 우리가 적용할 문제입니다.

 

기본적으로 다음의 3단계로 풀이할 예정입니다.

• 함수 f(x)의 도함수가 x=1에서 해를 갖는 힌트를 활용해서 미정계수 a의 값을 구한다.
• 함수 f(x)의 도함수가 0을 갖는 값 중 x=1이 아닌 해, b를 찾는다.

사실, 아주 간단한 풀이인데, 이것을 geogebra를 활용해서 연습해 보도록 하겠습니다.

 

Geogebra실행

먼저, geogebra를 실행합시다.

 

계산기 스위트 - GeoGebra

링크에 접속하면 아래와 같이 geogebra의 첫 화면으로 연결이 됩니다.

여기서 가장 상단에 그래픽 계산기라는 글씨가 보이지요? 옆에 삼각형을 클릭하면 나오는 창에서 4번째의 cas를 클릭합니다.

아무런 변화가 없어보입니다만, 왼쪽에 대수/도구/표로 되어 있던 메뉴가 대수/표로 바뀌었습니다.

 

수식입력

1. f(x)입력

먼저, 왼쪽의 대수창에 f(x)를 입력합니다.

f(x)=2x^3-9x^2+ax+5

위와 같이 입력하시면 됩니다. 혹시나, -9x부터가 지수로 올라가면, 2x^3을 입력하고 키보드의 오른쪽 방향키를 클릭하고 입력하시면 됩니다. (한글에서는 수식 입력 시 ' 기호를 이용해서 수식을 끊어주는데, geogebra에서는 방향키로도 가능합니다.)

 

2. f'(1)=0을 만족하는 a값 구하기

이제, 문제는 a의 값을 어떻게 구하는가입니다.

물론, 종이에 풀이하면 아주 간단한 문제입니다만, geogebra에 수식으로 표현하기에는 생각보다 쉽지 않은 문제입니다.

 

*이번 포스팅에서 가장 중요한 부분입니다. geogebra활용 능력을 업그레이드하려면 지금부터 하는 포스팅을 꼭 기억하세요.

위의 그림과 같이 화면 하단의 키보드 모양이 있지요? 여기서 "ㅔ"위에 있는 3개의 점이 보일 것입니다. 이곳을 클릭합니다.

그러면 위와 같이 geogebra에서 사용 가능한 모든 명령어가 모여있는 금광을 볼 수 있습니다.

여기서 우리는 f'(1)=0을 만족하는 a의 값을 찾는 게 문제가 되겠지요?

먼저 오른쪽 목록에서 대수를 클릭합니다. 그리고 마우스를 내리면, 다음 이미지와 같이 풀기라는 부분이 보입니다.

저는 마우스를 올린 상태에서 화면을 캡처하니 풀기 글씨에 회색 상자가 나타났군요. 여러분은 클릭을 해 주셔야 합니다.

그러면, 왼쪽에 위의 그림과 같은 여러 명령어 모델이 나타나게 됩니다.

여기서 우리는 풀기(<방정식>, <변량>)을 클릭하겠습니다.

그러면 화면 왼쪽에 위의 그림과 같이 나오게 됩니다.

그럼, 왼쪽의 방정식에는 f'(1)=0이라는 방정식을 입력하고, 오른쪽에는 미정계수, 즉 변량 a를 입력합시다.

엔터와 동시에 a의 값을 구하게 됩니다.

이제, b의 값을 구하면 되겠지요?

 

3. b의 값 구하기

일반적으로 a=12를 대입하여 f(x)를 완전하게 만들어서 구하는 방법이 있습니다만 저는 새로운 함수 g(x)를 정의하고 풀이를 하겠습니다.

위의 이미지와 같이 입력합니다.

앞에서 f(x)는 a라는 미정계수로 그래프가 정의되지 않았습니다. 그런데, g(x)의 경우는 미정계수가 없으니 그래프 정의가 가능하게 됩니다. 때문에, 식 앞에 녹색의 동그라미가 나타나게 됩니다.
참고로 그래픽 계산기에서 동일한 작업을 했다면, f(x)를 표현할 수 있는데, 이때 a는 슬라이스라는 기능이 적용되어 우리가 a를 어떻게 설정하는가에 따라서 f(x)의 그래프를 보여주게 됩니다. 직관적 풀이를 위해서는 이런 방법도 좋겠지만, 미정계수가 어떤 정수, 또는 어떤 범위라고 확정할 수 없으니 복불복이라고도 할 수 있겠습니다.

그렇다면, g'(x)=0을 만족하는 값을 구하면 되겠지요?

풀기(g'(x)=0)이라는 명령어를 입력하고 엔터를 합시다.

그러면 위의 그림과 같이 x=1, x=2라는 해가 나오게 됩니다. 문제에서 x=1에서 극댓값을 갖는다고 했으니, 당연히 b=2가 될 것입니다.

 

마무리

오늘은 geogebra를 활용해서 방정식을 풀이하는 방법을 알아봤습니다.

물론, 예시로 활용한 6번의 문제는 너무 간단해서 차라리 펜과 종이로 풀이하는 게 더욱 편할 수 있지만 이렇게 쉬운 문제부터 접근하는 것이 geogebra를 조금이라도 더 알아가는 방법이 아닐까 조심스럽게 생각됩니다.

 

아참, 사용하면서 팁을 이야기드리자면, geogebra에서 가끔 한글 명령어가 잘 입력되지 않는 경우가 있습니다.

이런 경우는 화면 하단의 키보드에서 한글을 활성화하거나, 

아니면 앞에서 이야기드린 것처럼 수식을 모아두는 창을 활용하는 방법을 추천드립니다.

 

이후에도 공부해서 알게 되는 내용은 또 업데이트하도록 하겠습니다.

포스팅 보시면 알겠지만, 스테이블 디퓨전에 재미를 붙여서 이미지 만들기를 공부하고 있습니다. 오늘 만든 이미지인데, 뭔가 수학적 내용만 적혀있는게 갑갑한 느낌이 들어서 만든 작품을 대표 이미지로 설정해 봤습니다.